Moving Average Garch

Explorando a média ponderada ponderada exponencial A volatilidade é a medida mais comum de risco, mas vem em vários sabores. Em artigo anterior, mostramos como calcular a volatilidade histórica simples. (Para ler este artigo, consulte Usando a volatilidade para avaliar o risco futuro.) Usamos os dados reais do estoque do Google para computar a volatilidade diária com base em 30 dias de dados de estoque. Neste artigo, melhoraremos a volatilidade simples e discutiremos a média móvel exponencialmente ponderada (EWMA). Histórico vs. Volatilidade implícita Primeiro, vamos colocar essa métrica em um pouco de perspectiva. Existem duas abordagens gerais: volatilidade histórica e implícita (ou implícita). A abordagem histórica pressupõe que o passado é um prólogo que medimos a história na esperança de que ela seja preditiva. A volatilidade implícita, por outro lado, ignora a história que resolve pela volatilidade implícita nos preços de mercado. Espera que o mercado saiba melhor e que o preço de mercado contenha, mesmo que implicitamente, uma estimativa consensual da volatilidade. Se nos concentrarmos apenas nas três abordagens históricas (à esquerda acima), elas têm duas etapas em comum: Calcular a série de retornos periódicos Aplicar um esquema de ponderação Primeiro, nós Calcular o retorno periódico. Isso é tipicamente uma série de retornos diários onde cada retorno é expresso em termos continuamente compostos. Para cada dia, tomamos o log natural da razão dos preços das ações (ou seja, preço hoje dividido pelo preço de ontem, e assim por diante). Isso produz uma série de retornos diários, de u i para u i-m. Dependendo de quantos dias (m dias) estamos medindo. Isso nos leva ao segundo passo: é aqui que as três abordagens diferem. No artigo anterior (Usando a Volatilidade Para Avaliar o Risco Futuro), mostramos que sob algumas simplificações aceitáveis, a variância simples é a média dos retornos quadrados: Note que isto soma cada um dos retornos periódicos, então divide esse total pela Número de dias ou observações (m). Então, é realmente apenas uma média dos retornos periódicos quadrados. Dito de outra forma, cada retorno ao quadrado é dado um peso igual. Portanto, se alfa (a) é um fator de ponderação (especificamente, 1 / m), então uma variância simples se parece com isso: O EWMA Melhora na Variância Simples A fraqueza desta abordagem é que todos os retornos ganham o mesmo peso. O retorno de ontem (muito recente) não tem mais influência na variância do que nos últimos meses. Esse problema é corrigido usando-se a média móvel exponencialmente ponderada (EWMA), na qual os retornos mais recentes têm maior peso na variância. A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) introduz lambda. Que é chamado de parâmetro de suavização. Lambda deve ser inferior a um. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno ao quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: Por exemplo, RiskMetrics TM, uma empresa de gestão de risco financeiro, tende a usar um lambda de 0,94 ou 94. Neste caso, o primeiro Mais recente) é ponderado por (1-0.94) (. 94) 0 6. O próximo retomo quadrado é simplesmente um lambda-múltiplo do peso anterior neste caso 6 multiplicado por 94 5.64. E o terceiro dia anterior peso é igual a (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Esse é o significado de exponencial em EWMA: cada peso é um multiplicador constante (isto é, lambda, que deve ser menor que um) do peso dos dias anteriores. Isso garante uma variância que é ponderada ou tendenciosa em direção a dados mais recentes. (Para saber mais, consulte a Planilha do Excel para a Volatilidade do Google.) A diferença entre simplesmente volatilidade e EWMA para o Google é mostrada abaixo. A volatilidade simples pesa efetivamente cada retorno periódico em 0,196, como mostrado na coluna O (tivemos dois anos de dados diários sobre os preços das ações, ou seja, 509 retornos diários e 1/509 0,196). Mas observe que a Coluna P atribui um peso de 6, então 5.64, então 5.3 e assim por diante. Essa é a única diferença entre a variância simples e EWMA. Lembre-se: Depois de somar toda a série (na coluna Q) temos a variância, que é o quadrado do desvio padrão. Se queremos a volatilidade, precisamos nos lembrar de tomar a raiz quadrada dessa variância. Sua significativa: A variância simples nos deu uma volatilidade diária de 2,4, mas a EWMA deu uma volatilidade diária de apenas 1,4 (veja a planilha para detalhes). Aparentemente, volatilidade Googles estabeleceu-se mais recentemente, portanto, uma variância simples pode ser artificialmente elevado. A variação de hoje é uma função da variação dos dias de Pior Você observará que nós precisamos computar uma série longa de pesos declinando exponencial. Nós não faremos a matemática aqui, mas uma das melhores características do EWMA é que toda a série convenientemente reduz a uma fórmula recursiva: Recursivo significa que as referências de variância de hoje (ou seja, é uma função da variação de dias anteriores). Você pode encontrar esta fórmula na planilha também, e produz o mesmo resultado exato que o cálculo de longhand Diz: A variância de hoje (sob EWMA) é a variância de ontem (ponderada por lambda) mais o retorno ao quadrado de ontem (pesado por um lambda negativo). Observe como estamos apenas adicionando dois termos juntos: ontem variância ponderada e ontem ponderada, retorno ao quadrado. Mesmo assim, lambda é o nosso parâmetro de suavização. Um lambda mais alto (por exemplo, como o RiskMetrics 94) indica um declínio mais lento na série - em termos relativos, vamos ter mais pontos de dados na série e eles vão cair mais lentamente. Por outro lado, se reduzimos o lambda, indicamos maior decaimento: os pesos caem mais rapidamente e, como resultado direto da rápida decomposição, são usados ​​menos pontos de dados. (Na planilha, lambda é uma entrada, para que você possa experimentar com sua sensibilidade). Sumário A volatilidade é o desvio padrão instantâneo de um estoque ea métrica de risco mais comum. É também a raiz quadrada da variância. Podemos medir a variância historicamente ou implicitamente (volatilidade implícita). Ao medir historicamente, o método mais fácil é a variância simples. Mas a fraqueza com variância simples é todos os retornos obter o mesmo peso. Então, enfrentamos um trade-off clássico: sempre queremos mais dados, mas quanto mais dados temos, mais nosso cálculo é diluído por dados distantes (menos relevantes). A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) melhora a variância simples atribuindo pesos aos retornos periódicos. Fazendo isso, podemos usar um grande tamanho de amostra, mas também dar maior peso a retornos mais recentes. GARCH e EWMA 21 de maio de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM Objetivo: Comparar, contrastar e calcular abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo : ABORDAGEM GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (paramétrica condicional) Métodos modernos dão mais peso à informação recente. Tanto o EWMA como o GARCH colocam mais peso nas informações recentes. Além disso, como EWMA é um caso especial de GARCH, tanto EWMA e GARCH empregar suavização exponencial. GARCH (p, q) e em particular GARCH (1, 1) GARCH (p, q) é um modelo heteroscedástico condutor geral autorregressivo. Principais aspectos incluem: Autoregressive (AR). A variância de amanhã (ou volatilidade) é uma função regredida da variância de hoje8217s que regride sobre si mesma Condicional (C). A variância de amanhã depende da variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância Heteroskedastic de hoje (H). Variâncias não são constantes, elas fluem ao longo do tempo, GARCH regride em termos históricos ou 8220lagged8221. Os termos retardados são variância ou retornos quadrados. O modelo genérico GARCH (p, q) regressa em (p) retornos ao quadrado e (q) variâncias. Por conseguinte, GARCH (1, 1) 8220lags 8221 ou regressa no último período 8217s ao quadrado retorno (ou seja, apenas 1 retorno) e último período 8217s variância (ou seja, apenas 1 variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula de GARCH (1, 1) pode ser dada com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH como: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional em função de três variáveis ​​(variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): Persistência é uma característica incorporada no modelo GARCH. Dica: Nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alfa-1 beta). Persistência refere-se a quão rapidamente (ou lentamente) a variação reverte ou 8220decays8221 em direção a sua média de longo prazo. A alta persistência equivale à desaceleração lenta e a desaceleração da regressão em direção à média8221. A baixa persistência equivale à rápida decomposição e rápida reversão à média. 8221 A persistência de 1,0 não implica nenhuma reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221 onde uma menor persistência implica maior reversão para a média. Dica: Como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância defasada e ao retângulo quadrado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (maior que zero, mas inferior a um) implica uma reversão lenta para a média. Porém, se os pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo ao quadrado forem maiores do que um, o modelo é não-estacionário. Se (bc) é maior que 1 (se bc gt 1) o modelo é não-estacionário e, de acordo com Hull, instável. Neste caso, é preferida a EWMA. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é tanto 8220compact8221 (isto é, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucas têm melhorado no original. A desvantagem do modelo GARCH é sua não-linearidade sic Por exemplo: Resolva para a variância de longo prazo em GARCH (1,1) Considere a equação de GARCH (1, 1) abaixo: Assumamos que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E Observe que omega é 0,2, mas don8217t erro omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto da gama ea variância de longo prazo. Portanto, se alfa beta 0,9, então gamma deve ser 0,1. Dado que o ômega é 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mero diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que GARCH inclui o termo adicional para a reversão média e EWMA não tem uma reversão média. Aqui é como podemos obter de GARCH (1,1) para EWMA: Então deixamos um 0 e (bc) 1, de tal forma que a equação acima simplifica a: Isto é agora equivalente à fórmula para exponencialmente ponderada média móvel (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo de um (lambda alto) exibe decadência lenta. O RiskMetricsTM Approach RiskMetrics é uma forma marcada da abordagem de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA): O lambda ótimo (teórico) varia de acordo com a classe de ativos, mas o parâmetro ótimo global usado pelo RiskMetrics foi 0,94. Na prática, o RiskMetrics usa apenas um fator de decadência para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diário e mensal são inconsistentes. No entanto, eles são fáceis de usar, eles aproximam o comportamento dos dados reais muito bem, e eles são robustos para misspecification. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são paramétricos e recursivos. Sumário Dicas: GARCH (1, 1) é generalizada RiskMetrics e, inversamente, RiskMetrics é, por outro lado, uma das principais vantagens e desvantagens da MA (ie STDEV) versus GARCH Resumo Gráfico dos métodos paramétricos que atribuem mais peso aos retornos recentes (GARCH amp EWMA) (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, deve somar a um: Dica: Tenha cuidado com o primeiro termo no GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) Equação de GARCH (1, 1): ômega () gama () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado para a variância, você pode precisar dividir o peso, a fim de calcular a variância média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa de volatilidade Na prática, as taxas de variância tendem a ser a média reverter, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que 8221) para o modelo EWMA. Lembre-se, é a grande diferença: GARCH adiciona o parâmetro que pondera a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferível a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que está implícito se alfa beta gt 1). Neste caso, GARCH (1,1) é instável e EWMA é preferido. Explique como as estimativas GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base numa janela de observação, por ex. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): Característica fantasma: os choques de volatilidade (aumentos repentinos) são abruptamente incorporados na métrica MA e, quando a janela de arrasto passa, eles são abruptamente descartados do cálculo. Devido a isso a métrica MA mudará em relação ao comprimento da janela escolhida Informações de tendência não são incorporadas As estimativas de GARCH melhoram essas fraquezas de duas maneiras: As observações mais recentes são atribuídas pesos maiores. Isso supera a fantasma porque um choque de volatilidade afetará imediatamente a estimativa, mas sua influência irá desaparecer gradualmente à medida que o tempo passa. Um termo é adicionado para incorporar a reversão à média Explique como a persistência está relacionada à reversão à média. Dada a equação de GARCH (1, 1): A persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. A persistência de 1,0 não indica reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica desintegração rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo ao quadrado retardado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Portanto, se P (persistência) for alta, então G (reversão de média) é baixa: a série persistente não é fortemente média reverting exibe 8220 baixa decaimento 8221 para a significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impersistente significa fortemente reverter exibe 8220 desvanecimento acelerado 8221 em relação à média. A variância média, incondicional no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explique como a EWMA sistematicamente descontos dados mais antigos, e identificar o RiskMetrics174 diária e mensal decadência fatores. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série EWMA 8220true8221 que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído ao quadrado retorna é uma proporção constante do peso precedente. Especificamente, lambda (l) é a razão entre pesos vizinhos. Desta forma, os dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda for elevado (por exemplo, 0,99), então o desconto é muito gradual. Se lambda for baixo (por exemplo 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de deterioração do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que as volatilidades de previsão. Ao mensurar o risco de carteira, as correlações podem ser mais importantes do que a volatilidade / variância individual do instrumento. Portanto, no que diz respeito ao risco da carteira, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões individuais de volatilidade. Use GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variância futura esperada, em (t) períodos, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno quadrado anterior (o retorno anterior era 4), beta é o peso (0,7) atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância de longo prazo. Não é 0,00008 este termo é o produto da variância e seu peso. Como o peso deve ser 0,2 (1 - 0,1 -0,7), a variância de longo prazo 0,0004. Em segundo lugar, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado acima: Agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variância esperada futuro: Esta é a taxa de variância esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 e a volatilidade de longo prazo é 2. A projeção de 10 dias para a frente 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Previsão não paramétrica da volatilidade A abordagem EWMA tem uma característica atraente: requer relativamente poucos dados armazenados. Para atualizar nossa estimativa em qualquer ponto, só precisamos de uma estimativa prévia da taxa de variância e do valor de observação mais recente. Um objetivo secundário da EWMA é acompanhar mudanças na volatilidade. Para valores pequenos, observações recentes afetam prontamente a estimativa. Para valores próximos de um, a estimativa muda lentamente com base em mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido pela JP Morgan e disponibilizado ao público) utiliza a EWMA para atualizar a volatilidade diária. IMPORTANTE: A fórmula EWMA não assume um nível de variância médio de longo prazo. Assim, o conceito de volatilidade significa reversão não é capturado pelo EWMA. Os modelos ARCH / GARCH são mais adequados para esta finalidade. Um objetivo secundário do EWMA é acompanhar mudanças na volatilidade, portanto, para valores pequenos, observação recente afeta prontamente a estimativa e para valores próximos a um, a estimativa muda lentamente para mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido por JP Morgan) e disponibilizado ao público em 1994, utiliza o modelo EWMA para atualizar a estimativa diária de volatilidade. A empresa descobriu que em toda uma gama de variáveis ​​de mercado, este valor fornece a previsão da variância que mais se aproxima da taxa de variação realizada. As taxas de variação realizadas num determinado dia foram calculadas como uma média igualmente ponderada dos 25 dias subsequentes. Da mesma forma, para calcular o valor ótimo de lambda para o nosso conjunto de dados, precisamos calcular a volatilidade realizada em cada ponto. Existem vários métodos, então escolha um. Em seguida, calcule a soma de erros quadrados (SSE) entre EWMA estimativa e volatilidade realizada. Finalmente, minimizar o SSE variando o valor lambda. Parece simples É. O maior desafio é concordar com um algoritmo para calcular a volatilidade realizada. Por exemplo, o pessoal da RiskMetrics escolheu os 25 dias subseqüentes para calcular a taxa de variação realizada. No seu caso, você pode escolher um algoritmo que utiliza os preços Volume diário, HI / LO e / ou OPEN-CLOSE. Q 1: Podemos usar EWMA para estimar (ou prever) a volatilidade mais de um passo à frente A representação da volatilidade EWMA não assume uma volatilidade média de longo prazo e, portanto, para qualquer horizonte de previsão além de um passo, a EWMA retorna uma constante valor: